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回溯算法思想

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本文字数： 4.6k 阅读时长 ≈ 4 分钟

回溯算法思想

回溯算法相当于一个决策树，解决一个决策树的遍历问题，需要考虑：

  • 路径：已经做出的选择
  • 选择列表：可以做的选择
  • 结束条件：到达决策树底层，无法做出选择的条件

回溯框架：

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result = []
def backtrack(路径，选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        做选择
        backtrack(路径，选择列表)
        撤销选择

子集穷举

  1. 给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例: 输入: nums = [1,2,3] 输出: [ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]

力扣题目链接

image-20220404212935154

[1, 2, 3]的全部子集为递归树上的所有节点，for循环横向遍历，递归纵向遍历

  • 递归参数：二维数组result存放子集组合，一维数组path收集路径元素，需要start参数控制递归

  • 递归终止条件：start大于等于数组的长度。没有元素可取

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    if (start >= nums.size()) {
        return;
    }

  • 单层逻辑：遍历整棵树，不需要剪枝

完整代码：

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//存储所有子集
vector<vector<int>> res;

/*主函数*/
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
    //记录走过的路径
    vector<int> path;
    backtrack(nums, 0, path);
    return res;
}

/*回溯算法*/
void backtrack(vector<int>& nums, int start, vector<int>& path) {
    res.push_back(path); //收集子集，始终在上面，防止漏掉自己，前序遍历的位置
    
    if (start >= nums.size()) return; //可以不加，每次递归的下一层就是从i+1开始的
    
    //从start开始，防止产生重复子集
    for (int i = start; i < nums.size(); i++) {
        //做选择
        path.push_back(nums[i]);
        //递归回溯
        backtrack(nums, i + 1, path);
        //撤销选择
        path.pop_back();
    }
}
  1. 给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例:

  • 输入: [1,2,2]
  • 输出: [ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], [] ]

力扣题目链接

解法：回溯+去重，同一层横向遍历需要去重（需要首先对集合排序）

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vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtrack(vector<int>& nums, int start, vector<int>& path) {
    result.push_back(path);
    for (int i = start; i < nums.size(); i++) {
        // 对同一树层使用过的元素进行跳过
        if (i > start && nums[i] == nums[i - 1] ) { // 注意这里使用i > start
            continue;
        }
        path.push_back(nums[i]);
        backtrack(nums, i + 1, path);
        path.pop_back();
    }
}

vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
    sort(nums.begin(), nums.end()); // 去重需要排序
    vector<int> path; //记录走过的路径
    backtrack(nums, 0, path);
    return result;
}

组合

给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:
输入: n = 4, k = 2
输出: [[2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4]]

解法：combine(4, 2)的结果，决策树的高度为k，宽度为n的所有叶子节点。

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//记录所有组合
vector<vector<int>> result;
/*主函数*/
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
    if (k <= 0 || n <= 0) return res;
    vector<int> path; //记录走过的路径
    backtrack(n, k, 1, path);
    return result;
}

void backtrack(int n, int k, int start, vector<int>& path) {
    //到达叶子节点更新result
    if (k == path.size()) {
        result.push_back(path);
        return;
    }
    //i从start开始递增
    for (int i = start; i <= n; i++) {
        path.push_back(i); // 处理节点 
        backtracking(n, k, i + 1, path); // 递归
        path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
    }
}

组合可以看作特定长度的子集，combine(3, 2) 等价于 subset([1, 2, 3])长度为2 的子集

排列

  1. 给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

  • 输入: [1,2,3]
  • 输出: [[1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1]]

力扣题目链接

解法：排列是有序的， [1,2] 和 [2,1] 是两个集合，处理全排列问题不需要start防止重复。需要排除已经选择过的数字，将所有叶子节点作为结果。可以使用一个used数组，标记此时path中已经选择的元素，一个排列里一个元素只能使用一次。

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vector<vector<int>> result;
vector<int> path; //记录路径
void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
    // 此时说明到达叶子节点
    if (path.size() == nums.size()) {
        result.push_back(path);
        return;
    }
    
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        if (used[i] == true) continue; // path里已经收录的元素，直接跳过
        used[i] = true;
        path.push_back(nums[i]);
        backtracking(nums, used);
        path.pop_back();
        used[i] = false;
    }
}
/*主函数*/
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
    vector<bool> used(nums.size(), false); //标记bool数组
    backtracking(nums, used);
    return result;
}
  1. 给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

  • 输入：nums = [1,1,2]
  • 输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]

示例 2：

  • 输入：nums = [1,2,3]
  • 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

力扣题目链接

解法：回溯+去重，去重需要对元素序列排序，方便通过相近节点判断是否重复使用。

去重逻辑的关键代码：

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// used[i - 1] == false，说明同一树层nums[i - 1]使用过
// 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
    continue;
}

总体代码：

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vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
    // 此时说明找到了一组
    if (path.size() == nums.size()) {
        result.push_back(path);
        return;
    }
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        // used[i - 1] == true，说明同一树枝nums[i - 1]使用过
        // used[i - 1] == false，说明同一树层nums[i - 1]使用过
        // 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过
        if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
            continue;
        }
        if (used[i] == false) {
            used[i] = true;
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, used);
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
}

vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
    sort(nums.begin(), nums.end()); // 排序
    vector<bool> used(nums.size(), false);
    backtracking(nums, used);
    return result;
}